O ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuaţie diferenţială de forma:
- (1)
unde
sunt funcţii continue pe intervalul
şi
(2)
Definiţia 1.3.1.
Spunem că o funcţie
este de clasă
pe intervalul I dacă
admite derivate până la ordinul p inclusiv şi acestea sunt continue pe I.
Vom folosi notaţia
De exemplu,
dacă
este continuă pe I,
dacă există
şi este continuă pe I etc.
Este evident că
este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial al funcţiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota
Definiţia 1.3.2.
Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) orice funcţie
care verifică ecuaţia, adică:
Dacă notăm cu D operatorul de derivare
cu
operatorul de
derivare de ordinul p,
cu
operatorul identitate
şi cu
atunci ecuaţiile (1) şi (2) se scriu pe scurt astfel:
- (1’)
respectiv
- (2’)
Propoziţia 1.3.1.
Mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei omogene (2) este un subspaţiu vectorial al spaţiului de funcţii
- Demonstraţie.
Vom arăta că
şi
rezultă că
Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea:
Într-adevăr,
Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr,
de exemplu:
etc.
În sfârşit, observăm că operatorul L(D) este liniar,
Dacă
atunci
şi
În continuare, avem:
deci
QED.
În spaţii de funcţii există un aparat specific pentru studiul liniar dependenţei
(independenţei). Acest aparat se bazează pe noţiunea de wronskian.
Definiţia 1.3.3. Fie
n funcţii de clasă
pe intervalul I.
Se numeşte wronskian al acestor funcţii, următoarea funcţie:
Propoziţia 1.3.2.
Fie
Dacă
sunt liniar dependente pe I, atunci
- Demonstraţie.
Prin ipoteză există n numere
nu toate nule, astfel încât
- (3)
Derivând succesiv relaţia (3) de (n −1) ori obţinem:
(4)
Am obţinut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar şi omogen în
necunoscutele
Deoarece sistemul admite soluţie nebanală, rezultă că determinantul
coeficienţilor este 0. Aşadar avem:
QED.
Propoziţia 1.3.3.
Fie
Dacă
(i)
(ii)
atunci g este o combinaţie liniară de
deci există
astfel încât
- Demonstraţie. Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 .
Prin ipoteză, avem:
(5)
Cum coloanele 2 şi 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (deoarece, prin
ipoteză, ), rezultă că prima coloană este o combinaţie liniară de
acestea.
Aşadar,
există
astfel încât
(6)
Ţinând seama că
şi că
pe I, din (6) deducem că
şi
sunt funcţii derivabile pe I.
Derivând prima relaţie din (6) obţinem:
Pe de altă parte, ţinând seama de a doua relaţie din (6), deducem:
- (7)
În mod analog, derivând a doua relaţie din (6) şi ţinând seama de a treia relaţie,
deducem:
- (8)
Am obţinut un sistem liniar şi omogen de două ecuaţii (ecuaţiile (7) şi (8)) în
necunoscutele
şi
. Cum, prin ipoteză, determinantul coeficienţilor
este nenul, rezultă că sistemul admite numai soluţia banală.
Aşadar,
Conform primei relaţii, din (6)
avem:
QED.
Teorema 1.3.1. (Liouville)
Fie
n soluţii particulare ale ecuaţiei
omogene (2), fie
fixat şi fie
Atunci
- Demonstraţie.
Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 .
Fie
două soluţii particulare ale ecuaţiei omogene
Atunci avem:
- (9)
Pe de altă parte, derivând wronskianul
obţinem:
Ţinând seama de (9) şi de proprietăţile determinanţilor, rezultă:
sau
- (10)
Se verifică imediat, prin derivare, că ecuaţia diferenţială (10) admite soluţia:
unde C este o constantă oarecare. În particular, pentru
rezultă că
deci
QED.
Definiţia 1.3.4.
Se numeşte sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2),
orice set de n soluţii particulare
cu proprietatea că există
astfel încât
Corolarul 1.3.1.
Dacă
este un sistem fundamental de soluţii, atunci
sunt liniar independente pe I.
- Demonstraţie.
Fie
astfel încât
Din Teorema Liouville rezultă că
iar din Propoziţia 1.3.2, rezultă că
sunt liniar independente pe I.
QED.
Teorema 1.3.2.
Orice sistem fundamental de soluţii din S este o bază în spaţiul
vectorial S.
- Demonstraţie.
Fie
un sistem fundamental de soluţii. Conform Corolarului
1.3.1, sunt liniar independente. Rămâne să arătăm că
este un sistem de generatori
pentru S.
Deoarece
sunt soluţii pentru (2), rezultă:
(11)
Fie
oarecare.
Atunci y verifică ecuaţia (2), deci
(12)
Am obţinut un sistem liniar şi omogen de ecuaţii (ecuaţiile (11) şi (12)), în necunoscutele
Cum sistemul admite soluţie nebanală
rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar, avem:
(13)
Egalitatea (13) este echivalentă cu
Pe de altă parte, din
Propoziţia 1.3.2, rezultă că
Constatăm că sunt îndeplinite
condiţiile Propoziţiei 1.3.3, deci există
astfel încât
Mai
mult, rezultă
QED.
Observaţia 1.3.1.
Din Teorema 1.3.2, rezultă că dacă
este un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), atunci orice altă soluţie a ecuaţiei (2) este de forma
- (14)
unde
sunt constante arbitrare.
Formula (14) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (2). Aşadar, pentru a găsi soluţia generală a ecuaţiei omogene (2) este suficient să găsim un sistem fundamental de soluţii particulare ale acesteia. În general, determinarea unui sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă este dificilă pentru ecuaţii cu coeficienţi variabili. Acest lucru este posibil însă în cazul ecuaţiilor cu coeficienţi constanţi, de care ne vom ocupa în continuare.
Fie ecuaţia
- (15)
unde
sunt constante reale,
Căutăm soluţii ale ecuaţiei (15) de forma
- (16)
unde r este o constantă reală ce urmează să fie determinată.
Punând condiţia ca funcţia dată de (16) să verifice ecuaţia (15), rezultă:
Se obţine astfel ecuaţia algebrică (17), care se numeşte ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale (2),
- (17)
Aşadar, am redus problema rezolvării ecuaţiei diferenţiale (15) la problema rezolvării ecuaţiei algebrice (17). Distingem următoarele cazuri:
- Cazul 1.
Ecuaţia caracteristică (17) are rădăcini reale şi distincte.
Fie
rădăcinile ecuaţiei (17),
dacă
Atunci
vor fi soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (15).
Calculând wronskianul lor, obţinem:
Rezultă că aceste soluţii formează un sistem fundamental de soluţii, deci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (2) este
Exemplul 1.3.1.
Să se afle soluția generală a ecuației diferențiale:
Ecuația caracteristică este
și are rădăcinile
Soluția generală a ecuației diferențiale este
Cazul 2. Ecuația caracteristică admite o rădăcină multiplă de ordin
Fie, de exemplu
această rădăcină.
Vom arăta că în acest caz ecuația diferențială (15) va admite următoarele soluții particulare:
Pentru început, demonstrăm următoarea lemă:
Lema 1.3.1. Pentru orice
avem
unde
este operatorul de derivare și
este operatorul identitate.
- Demonstrație.
Demonstrația se face prin inducție matematică. Pentru k=1 avem:
Presupunem afirmația adevărată pentru orice p <k și o demonstrăm pentru p +1.
Cu aceasta lema este demonstrată.
QED.
Fie acum
o rădăcină multiplă de ordinul m pentru ecuația caracteristică (17) și fie
membrul stâng al ecuației (17).
Atunci
unde
este o funcție polinomială de gradul
Acestei descompuneri a polinomului
caracteristic
îi corespunde următoarea descompunere a operatorului diferențial L(D):
Din Lema 1.3.1., pentru k<m avem:
Rezultă că
este soluție pentru ecuația diferențială (15),
Observația 1.3.2.
Orice set de funcții de forma
este liniar independent pe
Într-adevăr, orice combinație liniară nulă a acestor funcții nu este posibilă decât dacă toți coeficienții combinației sunt nuli.
Exemplul 1.3.2. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale
Ecuaţia caracteristică este
şi are rădăcina dublă
Ecuaţia
admite soluţiile particulare:
şi
care sunt liniar independente, deci formează o bază. Soluţia generală este:
Cazul 3. Ecuaţia caracteristică admite rădăcina complexă
În acest caz, vom arăta că ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare
şi
Verificăm afirmaţia în cazul particular n=2. Presupunem
că ecuaţia
admite rădăcina
Atunci avem
de unde deducem că:
- (18)
Fie
Atunci
şi
În continuare, avem:
în virtutea relaţiilor (18).
Aşadar, dacă
este rădăcină pentru ecuaţia caracteristică, atunci
este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15).
Analog se arată că
este soluţie
pentru ecuaţia diferenţială (15).
Pe de altă parte, este evident că aceste soluţii
sunt liniar independente.
Aşadar, în cazul particular n=2, soluţia generală
este:
În cazul când
este rădăcină dublă pentru ecuaţia caracteristică, ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare
etc.
Exemplul 1.3.3.