Coman Wiki
Register
Advertisement

O ecuaţie diferenţială liniară neomogenă de ordinul n este o ecuaţie diferenţială de forma:

  (1)

unde sunt funcţii continue pe intervalul şi   (2)

Definiţia 1.3.1. Spunem că o funcţie este de clasă pe intervalul I­ dacă admite derivate până la ordinul p inclusiv şi acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notaţia De exemplu, dacă este continuă pe I, dacă există şi este continuă pe I etc.

Este evident că este un subspaţiu vectorial al spaţiului vectorial al funcţiilor reale definite pe I, pe care îl vom nota

Definiţia 1.3.2. Se numeşte soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1) orice funcţie care verifică ecuaţia, adică:

Dacă notăm cu D operatorul de derivare cu operatorul de derivare de ordinul p,

cu operatorul identitate şi cu

atunci ecuaţiile (1) şi (2) se scriu pe scurt astfel:

  (1’)

respectiv

  (2’)

Propoziţia 1.3.1. Mulţimea S a soluţiilor ecuaţiei omogene (2) este un subspaţiu vectorial al spaţiului de funcţii

Demonstraţie.

Vom arăta că şi rezultă că

Pentru început reamintim că operatorul de derivare D este liniar, adică are proprietatea:

Într-adevăr,

Observăm că operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. Într-adevăr, de exemplu:

etc.

În sfârşit, observăm că operatorul L(D) este liniar,

Dacă atunci şi

În continuare, avem:

deci QED.

În spaţii de funcţii există un aparat specific pentru studiul liniar dependenţei (independenţei). Acest aparat se bazează pe noţiunea de wronskian.

Definiţia 1.3.3. Fie n funcţii de clasă pe intervalul I. Se numeşte wronskian al acestor funcţii, următoarea funcţie:


Propoziţia 1.3.2. Fie Dacă sunt liniar dependente pe I, atunci

Demonstraţie.

Prin ipoteză există n numere nu toate nule, astfel încât

  (3)

Derivând succesiv relaţia (3) de (n −1) ori obţinem:

  (4)

Am obţinut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar şi omogen în necunoscutele Deoarece sistemul admite soluţie nebanală, rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar avem:

QED.

Propoziţia 1.3.3. Fie Dacă

(i)


(ii)

atunci g este o combinaţie liniară de deci există astfel încât

Demonstraţie. Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 .

Prin ipoteză, avem:

  (5)

Cum coloanele 2 şi 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (deoarece, prin ipoteză, ), rezultă că prima coloană este o combinaţie liniară de acestea. Aşadar, există astfel încât

  (6)

Ţinând seama că şi că pe I, din (6) deducem că şi sunt funcţii derivabile pe I.

Derivând prima relaţie din (6) obţinem:

Pe de altă parte, ţinând seama de a doua relaţie din (6), deducem:

  (7)

În mod analog, derivând a doua relaţie din (6) şi ţinând seama de a treia relaţie, deducem:

  (8)

Am obţinut un sistem liniar şi omogen de două ecuaţii (ecuaţiile (7) şi (8)) în necunoscutele şi . Cum, prin ipoteză, determinantul coeficienţilor este nenul, rezultă că sistemul admite numai soluţia banală. Aşadar, Conform primei relaţii, din (6) avem:

QED.


Teorema 1.3.1. (Liouville) Fie

n soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (2), fie fixat şi fie Atunci

Demonstraţie.

Prezentăm demonstraţia în cazul particular n = 2 . Fie două soluţii particulare ale ecuaţiei omogene Atunci avem:

  (9)

Pe de altă parte, derivând wronskianul obţinem:

Ţinând seama de (9) şi de proprietăţile determinanţilor, rezultă:

sau

  (10)

Se verifică imediat, prin derivare, că ecuaţia diferenţială (10) admite soluţia:

unde C este o constantă oarecare. În particular, pentru rezultă că deci

QED.

Definiţia 1.3.4. Se numeşte sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), orice set de n soluţii particulare cu proprietatea că există astfel încât

Corolarul 1.3.1. Dacă este un sistem fundamental de soluţii, atunci sunt liniar independente pe I.

Demonstraţie.

Fie astfel încât Din Teorema Liouville rezultă că iar din Propoziţia 1.3.2, rezultă că sunt liniar independente pe I. QED.


Teorema 1.3.2. Orice sistem fundamental de soluţii din S este o bază în spaţiul vectorial S.

Demonstraţie.

Fie un sistem fundamental de soluţii. Conform Corolarului 1.3.1, sunt liniar independente. Rămâne să arătăm că este un sistem de generatori pentru S. Deoarece sunt soluţii pentru (2), rezultă:

  (11)

Fie oarecare. Atunci y verifică ecuaţia (2), deci   (12)

Am obţinut un sistem liniar şi omogen de ecuaţii (ecuaţiile (11) şi (12)), în necunoscutele Cum sistemul admite soluţie nebanală rezultă că determinantul coeficienţilor este 0. Aşadar, avem:

  (13)

Egalitatea (13) este echivalentă cu Pe de altă parte, din Propoziţia 1.3.2, rezultă că Constatăm că sunt îndeplinite condiţiile Propoziţiei 1.3.3, deci există astfel încât Mai mult, rezultă QED.


Observaţia 1.3.1. Din Teorema 1.3.2, rezultă că dacă este un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), atunci orice altă soluţie a ecuaţiei (2) este de forma

  (14)

unde sunt constante arbitrare. Formula (14) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (2). Aşadar, pentru a găsi soluţia generală a ecuaţiei omogene (2) este suficient să găsim un sistem fundamental de soluţii particulare ale acesteia. În general, determinarea unui sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă este dificilă pentru ecuaţii cu coeficienţi variabili. Acest lucru este posibil însă în cazul ecuaţiilor cu coeficienţi constanţi, de care ne vom ocupa în continuare.

Fie ecuaţia

  (15)

unde sunt constante reale,

Căutăm soluţii ale ecuaţiei (15) de forma

  (16)

unde r este o constantă reală ce urmează să fie determinată.

Punând condiţia ca funcţia dată de (16) să verifice ecuaţia (15), rezultă:

Se obţine astfel ecuaţia algebrică (17), care se numeşte ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei diferenţiale (2),

  (17)

Aşadar, am redus problema rezolvării ecuaţiei diferenţiale (15) la problema rezolvării ecuaţiei algebrice (17). Distingem următoarele cazuri:

Cazul 1.

Ecuaţia caracteristică (17) are rădăcini reale şi distincte. Fie rădăcinile ecuaţiei (17), dacă Atunci vor fi soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (15). Calculând wronskianul lor, obţinem:


Rezultă că aceste soluţii formează un sistem fundamental de soluţii, deci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (2) este

Exemplul 1.3.1. Să se afle soluția generală a ecuației diferențiale:

Ecuația caracteristică este și are rădăcinile

Soluția generală a ecuației diferențiale este

Cazul 2. Ecuația caracteristică admite o rădăcină multiplă de ordin Fie, de exemplu această rădăcină. Vom arăta că în acest caz ecuația diferențială (15) va admite următoarele soluții particulare:

Pentru început, demonstrăm următoarea lemă:

Lema 1.3.1. Pentru orice avem unde este operatorul de derivare și este operatorul identitate.


Demonstrație.

Demonstrația se face prin inducție matematică. Pentru k=1 avem:

Presupunem afirmația adevărată pentru orice p <k și o demonstrăm pentru p +1.

Cu aceasta lema este demonstrată. QED.


Fie acum o rădăcină multiplă de ordinul m pentru ecuația caracteristică (17) și fie membrul stâng al ecuației (17). Atunci unde este o funcție polinomială de gradul Acestei descompuneri a polinomului caracteristic îi corespunde următoarea descompunere a operatorului diferențial L(D):

Din Lema 1.3.1., pentru k<m avem:

Rezultă că este soluție pentru ecuația diferențială (15),


Observația 1.3.2. Orice set de funcții de forma este liniar independent pe Într-adevăr, orice combinație liniară nulă a acestor funcții nu este posibilă decât dacă toți coeficienții combinației sunt nuli.

Exemplul 1.3.2. Să se afle soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale

Ecuaţia caracteristică este şi are rădăcina dublă Ecuaţia admite soluţiile particulare: şi care sunt liniar independente, deci formează o bază. Soluţia generală este:

 Cazul 3. Ecuaţia caracteristică admite rădăcina complexă

În acest caz, vom arăta că ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare şi Verificăm afirmaţia în cazul particular n=2. Presupunem că ecuaţia admite rădăcina Atunci avem de unde deducem că:

  (18)

Fie Atunci

şi

În continuare, avem:

în virtutea relaţiilor (18).

Aşadar, dacă este rădăcină pentru ecuaţia caracteristică, atunci este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15). Analog se arată că este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (15). Pe de altă parte, este evident că aceste soluţii sunt liniar independente. Aşadar, în cazul particular n=2, soluţia generală este:

În cazul când este rădăcină dublă pentru ecuaţia caracteristică, ecuaţia diferenţială admite soluţiile particulare etc.

Exemplul 1.3.3.

Advertisement